ПОИСК ГЛОБАЛЬНОГО ОПТИМУМА ДЛЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ СИСТЕМ ИЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ.

Пример.


Требовалось установить зависимость максимальной тангенциальной составляющей РT силы резания от элементов геометрии зуба торцевой фрезы при фрезовании высокопрочного чугуна. В качестве влияющих факторов рассматривали следующие элементы геометрии зуба фрезы: главный угол в плане, угол наклона , режущей кромки и передний угол .
Таблица 1  Уровни и интервалы варьирования факторов
Факторы,град Кодовое обозначение Интервалы варьирования Натуральные уровни факторов, соответствующие кодированным
+1,682 +1 0 -1 -1,682

- главный угол в плане

- угол наклона режущей кромки

- передний угол

x1

x2

x3

15

6

6

85

15

20

75

11

16

60

5

10

45

-1

4

35

-5

0

Зависимость РT = f(, , ) было решено аппроксимировать полиномом второй степени. Эксперимент проведен по программе центрального композиционного ротатабельного планирования второго порядка. Принятые в исследовании уровни и интервалы варьирования факторов указаны в табл. 1.
Матрица планирования и результаты опытов приведены в табл. 2. Центральный композиционный ротатабельпый план второго порядка для трех факторов состоит из плана полного факторного эксперимента типа 23 (см. табл. 2, опыты 1—8), шести опытов в «звездных точках» (опыты 9—14) и шести опытов и центре плана (опыты 15—20).

Таблица 2  Матрица планирования и результаты опытов
Номер опыта

1

2

3

4

5

6

7

8

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

-1

-1

-1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

+1

-1

-1

-1

-1

+1

+1

+1

-1

+1

-1

-1

+1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

1210

1350

1140

1285

1225

1370

1150

1290

9

10

11

12

13

14

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1,682

-1,682

0

0

0

0

0

0

+1,682

-1,682

0

0

0

0

0

0

+1,682

-1,682

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2,829

2,829

0

0

0

0

0

0

2,829

2,829

0

0

0

0

0

0

2,829

2,829

1310

1370

1240

1120

1060

1300

15

16

17

18

19

20

+1

+1

+1

+1

+1

+1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1118

1140

1160

1210

1190

1200

По результатам опытов, выполненых в соответствии с принятым планом эксперимента, можно оценить коэффициенты уравнения регрессии вида

         
.(1)

Коэффициенты уравнения (1) определяем по формулам

         
;(2)

         
;(3)

         
;(4)

         
,(5)

где
     ;
     ;
     ;
      - число опытов в матрице;
      - число факторов;
      - значение функции отклика и j-м опыте;
      - кодированные значения i-го и l-го факторов в j-м опыте;
      - число опытов в центре плана;
     .

Для формулы для вычисления коэффициентов уравнения примут вид

;
;
;
.

По данным таблицы 2 вычислили суммы, входящие в формулы для расчета коэффициентов уравнения:



.

Используя приведенные выше формулы, находим коэффициенты уравнения регрессии:

Дисперсию воспроизводимости определяем по результатам опытов в центре плана. Для вычисления составим вспомагательную таблицу (табл. 3).
Дисперсии, характеризующие ошибки в определении коэффициентов уравнения регрессии, вычисляют по формулам:

         
.(6)


(7)

Таблица 3  Вспомагательная таблица для расчета
Номер опыта

15

16

17

18

19

20

1118

1140

1160

1210

1190

1200

-51,7

-29,7

-9,7

40,3

20,3

30,3

2672,89

882,09

94,09

1624,09

412,09

918,09

       

         
.(8)


(9)

При эти формулы примут вид

.

Находим дисперсии коэффициентов уравнения регрессии:

.

Определяем доверительные интервалы для коэффициентов уравнения регрессии:

.

где - табличное значение критерия Стьюдента при 5%-ном уровне значимости и числе степеней свободы f=5.
Коэффициенты b1, b12, b22, b33 меньше доверительных интервалов, поэтому их можно признать статистически незначимыми и исключить из уравнения регрессии. После исключения незначимых коэффициентов уравнение (1) принимает вид

         
(10)

Так как среди незначимых оказались коэффициенты при квадратичных членах, то коэффициенты уравнения были пересчитаны с использованием метода наименьших квадратов. Для пересчета коэффициентов уравнения составлена система нормальных уравнений

         
.(11)

Определяем суммы, входящие в систему нормальных уравнений:

.

Суммы, находящиеся в правых частях уравнений, вычислены раньше. После подстановки значений сумм система нормальных уравнений приняла вид

Решив систему нормальных уравнений,определили значения коэффициентов: , , , .
В результате использования планирования второго порядка получили следующее уравнение регрессии:

         
(12)

Проверка гипотезы адекватности модели, представленной уравнением (12), показала, что полученная модель адекватна при 5%-ном уровне значимости, так как расчетное значение .F-критерия меньше табличного. Вычисленные по уравнению (12) значения у отличаются от экспериментальных на величины, не превышающие ошибку опыта. Кодированные значения факторов связаны с натуральными следующими зависимостями:

где
      — натуральные значения основных уровней факторов; ;
      — интервалы варьирования факторов.;

Переходя от кодированных значений факторов к натуральным , получили зависимость максимальной тангенциальной составляющей силы резания от элементов геометрии зуба торцевой фрезы:

После преобразования

         
(13)

Уравнение адекватно, поэтому его можно использовать как интерполяционную формулу для вычисления величины . При конструировании торцевых фрез для обработки высокопрочного чугуна уравнение может быть использовано для установления рациональных значений элементов геометрии зуба.