|
ПОИСК ГЛОБАЛЬНОГО ОПТИМУМА ДЛЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ СИСТЕМ ИЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ. |
Пример.
Факторы,град | Кодовое обозначение | Интервалы варьирования | Натуральные уровни факторов, соответствующие кодированным | ||||
+1,682 | +1 | 0 | -1 | -1,682 | |||
- главный угол в плане - угол наклона режущей кромки - передний угол |
x1 x2 x3 |
15 6 6 |
85 15 20 |
75 11 16 |
60 5 10 |
45 -1 4 |
35 -5 0 |
Зависимость РT = f(, , ) было решено аппроксимировать полиномом второй степени. Эксперимент проведен
по программе центрального композиционного ротатабельного планирования второго порядка. Принятые в
исследовании уровни и интервалы варьирования факторов указаны в табл. 1.
Матрица планирования и результаты опытов приведены в табл. 2. Центральный композиционный ротатабельпый
план второго порядка для трех факторов состоит из плана полного факторного эксперимента типа 23
(см. табл. 2, опыты 1—8), шести опытов в «звездных точках» (опыты 9—14) и шести опытов и центре плана
(опыты 15—20).
Номер опыта | |||||||||||
1 2 3 4 5 6 7 8 |
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 |
+1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 |
+1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 |
+1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 |
+1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 |
+1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 |
+1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 |
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 |
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 |
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 |
1210 1350 1140 1285 1225 1370 1150 1290 |
9 10 11 12 13 14 |
+1 +1 +1 +1 +1 +1 |
+1,682 -1,682 0 0 0 0 |
0 0 +1,682 -1,682 0 0 |
0 0 0 0 +1,682 -1,682 |
0 0 0 0 0 0 |
0 0 0 0 0 0 |
0 0 0 0 0 0 |
2,829 2,829 0 0 0 0 |
0 0 2,829 2,829 0 0 |
0 0 0 0 2,829 2,829 |
1310 1370 1240 1120 1060 1300 |
15 16 17 18 19 20 |
+1 +1 +1 +1 +1 +1 |
0 0 0 0 0 0 |
0 0 0 0 0 0 |
0 0 0 0 0 0 |
0 0 0 0 0 0 |
0 0 0 0 0 0 |
0 0 0 0 0 0 |
0 0 0 0 0 0 |
0 0 0 0 0 0 |
0 0 0 0 0 0 |
1118 1140 1160 1210 1190 1200 |
По результатам опытов, выполненых в соответствии с принятым планом эксперимента, можно оценить коэффициенты уравнения регрессии вида
. | (1) |
Коэффициенты уравнения (1) определяем по формулам
; | (2) |
; | (3) |
; | (4) |
, | (5) |
где
;
;
;
- число опытов в матрице;
- число факторов;
- значение функции отклика и j-м опыте;
- кодированные значения i-го и l-го факторов в j-м опыте;
- число опытов в центре плана;
.
Для формулы для вычисления коэффициентов уравнения примут вид
;
;
;
.
По данным таблицы 2 вычислили суммы, входящие в формулы для расчета коэффициентов уравнения:
.
Используя приведенные выше формулы, находим коэффициенты уравнения регрессии:
Дисперсию воспроизводимости определяем по результатам опытов в центре плана.
Для вычисления составим вспомагательную таблицу (табл. 3).
Дисперсии, характеризующие ошибки в определении коэффициентов уравнения регрессии,
вычисляют по формулам:
. | (6) (7) |
Номер опыта | |||||
15 16 17 18 19 20 |
1118 1140 1160 1210 1190 1200 |
-51,7 -29,7 -9,7 40,3 20,3 30,3 |
2672,89 882,09 94,09 1624,09 412,09 918,09 |
||
. | (8) (9) |
При эти формулы примут вид
.
Находим дисперсии коэффициентов уравнения регрессии:
.
Определяем доверительные интервалы для коэффициентов уравнения регрессии:
.
где - табличное значение критерия Стьюдента при 5%-ном уровне значимости и числе степеней
свободы f=5.
Коэффициенты b1, b12, b22, b33 меньше
доверительных интервалов, поэтому их можно признать статистически незначимыми и исключить из уравнения
регрессии. После исключения незначимых коэффициентов уравнение (1) принимает вид
(10) | |
Так как среди незначимых оказались коэффициенты при квадратичных членах, то коэффициенты уравнения были пересчитаны с использованием метода наименьших квадратов. Для пересчета коэффициентов уравнения составлена система нормальных уравнений
. | (11) |
Определяем суммы, входящие в систему нормальных уравнений:
.
Суммы, находящиеся в правых частях уравнений, вычислены раньше. После подстановки значений сумм система нормальных уравнений приняла вид
Решив систему нормальных уравнений,определили значения коэффициентов: ,
, , .
В результате использования планирования второго порядка получили следующее уравнение регрессии:
(12) | |
Проверка гипотезы адекватности модели, представленной уравнением (12), показала, что полученная модель адекватна при 5%-ном уровне значимости, так как расчетное значение .F-критерия меньше табличного. Вычисленные по уравнению (12) значения у отличаются от экспериментальных на величины, не превышающие ошибку опыта. Кодированные значения факторов связаны с натуральными следующими зависимостями:
где
— натуральные значения основных уровней факторов; ;
— интервалы варьирования факторов.;
Переходя от кодированных значений факторов к натуральным , получили зависимость максимальной тангенциальной составляющей силы резания от элементов геометрии зуба торцевой фрезы:
После преобразования
(13) | |
Уравнение адекватно, поэтому его можно использовать как интерполяционную формулу для вычисления величины . При конструировании торцевых фрез для обработки высокопрочного чугуна уравнение может быть использовано для установления рациональных значений элементов геометрии зуба.