Во многих случаях целью исследования является получение математического описания изучаемого процесса. Часто из-за сложности процесса или малого объема информации неизвестную зависимость исследуемой величины &xi от k; независимых факторов представляют полиномом вида:

         

	(1)

В этом случае необходимо определить коэффициенты уравнения и оценить их значимость. По результатам опытов можно определить только выборочные коэффициенты регрессии b₀ , b_i , b_il , b_ii..., которые являются лишь оценками теоретических коэффициентов β₀, β_i, β_il, β_ii... полинома (1). Уравнение регрессии, полученное по результатам опытов,имеет вид:

         

	(2)

где y - выборочная оценка функции отклика ξ .

В ситуациях, когда априорная информация о порядке полинома отсутствует, математическую модель исследуемого процесса подбирают, начиная с простейшего линейного уравнения, последовательно увеличивая степень полинома до получения адекватной модели. Процесс получения математической модели в указанных ситуациях осуществляется следующим образом. Вначале реализуется полный факторный эксперимент 2^k или эксперимент, представленный дробной репликой 2^k-p , где p - число эффектов взаимодействия, замененных новыми переменными. По результатам опытов, выполненных согласно этим планам, находят коэффициенты линейного уравнения регрессии. Если это уравнение окажется неадекватным, то находят коэффициенты регрессии при эффектах взаимодействия факторов. Если уравнение регрессии с учетом взаимодействий факторов окажется также неадекватным, то выполненные ранее опыты дополняют опытами в «звездных» точках с плечом α и опытами в центре плана, число которых равно n₀. Число опытов в «звездных» точках равно 2^k . По результатам опытов, выполненных согласно плану 2^k или 2^k-p и дополнительным опытам в «звездных» точках и в центре плана, оценивают коэффициенты полинома второго порядка. Следует отметить, что исследуемый процесс часто удается описать полиномом второго порядка. В случае неадекватности полинома второго порядка переходят к планированию третьего порядка и описывают исследуемый процесс полиномом третьей степени. Если на основе априорной информации известно, что исследуемый процесс можно с достаточной точностью описать полиномом второго порядка, то для получения модели некомпозиционные планы в ряде случаев будут рациональнее центральных композиционных планов второго порядка.

         

	(3)

Эти коэффициенты находят с помощью метода наименьших квадратов или по приведенным, ниже формулам:

         

;	(4)

         

;	(5)

         

;	(6)

         

;	(7)

         

;	(8)

         

,	(9)

где y_0u — значение функции отклика в u-ом опыте в центре плана;
       x_1j , x_2j — кодированные значения факторов в j-ом опыте;
       y_j — значения функции отклика в j-ом опыте.

Дисперсию S_y² воспроизводимости эксперимента определяют по результатам опытов в центре плана, используя формулу:

         

,	(10)

где — среднее арифметическое значение функции отклика, полученное по результатам n₀ опытов в центре плана.

Дисперсии коэффициентов регрессии вычисляются по выражениям

         

;	(11)

         

;	(12)

         

;	(13)

         

.	(14)

Рассматриваемый план не является полностью ортогональным: коэффициенты b₀ , b₁₁ , b₂₂ коррелированы. Ковариации, характеризующие статистические связи между коэффициентами b₀ , b₁₁ , b₂₂ можно вычислить по выражениям:

         

;	(15)

         

.	(16)

Боксом и Бенкиным [2] для числа факторов от трех до семи рассмотрен ценный в практическом отношении класс некомпозиционных планов второго порядка. Эти планы представляют собой определенные выборки строк из полного факторного эксперимента типа 3^k . В указанных планах каждая переменная варьируется всего на трех уровнях: +1, 0, —1, в то время как центральные композиционные ротатабельные планы второго порядка предусматривают использование каждого фактора на пяти уровнях. Смена уровней в процессе экспериментирования усложняет эксперимент и увеличивает его стоимость. Использование некомпозиционных планов, предусматривающих всего три уровня варьирования факторов, упрощает и удешевляет проведение эксперимента. Некомпозиционные планы характеризуются наличием в строках матрицы планирования большого числа нулей, в результате чего существенно упрощается вычисление коэффициентов модели. Кроме этого, некомпозиционные планы для 3, 4, 6 и 7 факторов требуют постановки меньшего числа опытов по сравнению с соответствующими ротатабельными центральными композиционными планами второго порядка. Числа опытов, предусмотренные некомпозиционными планами и центральными композиционными ротатабельными планами второго порядка, приведены ниже.

Схема некомпозиционного плана второго порядка для трех факторов изображена на рис.2. Этот план предусматривает проведение 15 опытов.
Номера опытов указаны на схеме. В центре плана, т. е. при нахождении всех факторов на нулевых уровнях (x₁= x₂= x₃= 0 ), предусмотрено проведение трех опытов (рис. 2, опыты 5; 10; 15). Матрица плана, изображенного на рис. 2, представлена в табл. 2.

Для четырех факторов матрица планирования приведена в табл. 3, для пяти факторов — в табл. 4, для шести — в табл. 6, для семи — в табл. 7.

В таблицах с целью сокращения их объема не приведены столбцы парных взаимодействий x_ix _l и квадратов факторов x_i² . Эти столбцы можно легко получить, располагая приведенными ниже таблицами значений факторов. По результатам опытов, поставленных согласно рассмотренным некомпозиционным планам, можно определить коэффициенты уравнения регрессии.

         

	(17)

Коэффициенты уравнения (17) могут быть определены с помощью метода наименьших квадратов. Боксом и Бенкиным [2] для определения коэффициентов этого уравнения получены формулы, которые для трех, четырех, пяти и семи факторов имеют вид:

         

;	(18)

         

;	(19)

         

;	(20)

         

,	(21)

где n₀ — число опытов в центре плана;
       u — номер параллельного опыта в центре плана;
       y_0u — значение функции отклика в u-ом опыте;
       N — число опытов в матрице планирования; j — номер опыта в матрице планирования;
       i , l — номера факторов;
       x_ijx_lj — кодированные значения i-го и l-го факторов в j-м опыте;
       y_j — значение функции отклика в j-м опыте;
       k — число факторов;
       A , B , C , D , p — константы, зависящие от числа факторов.

Для трех, четырех, пяти и семи факторов дисперсии S_b0² , S_bi² , S_bil² , S_bii² коэффициентов регрессии определяют по формулам:

         

;	(22)

         

;	(23)

         

;	(24)

         

,	(25)

где S_y² —дисперсия воспроизводимости эксперимента;
       B₁— константа, зависящая от числа факторов.

Значения констант A , B , C , D , p и n₀ для 3, 4, 5 и 7 факторов приведены в табл. 5.

При шести факторах формулы для вычисления коэффициентов регрессии и их дисперсий имеют вид:

         

;	(26)

         

;	(27)

         

для b14 ; b25 ; b36;	(28)

         

для остальных bil;	(29)

         

;	(30)

         

;	(31)

         

;	(32)

         

;	(33)

         

;	(34)

         

;	(35)

         

;	(36)

         

;	(37)

         

для S2b14 ; S2b25 ; S2b36;	(38)

         

для остальных Sbil2;	(39)

         

.	(40)

Дисперсию S_y² воспроизводимости эксперимента определяют по результатам n₀ опытов в центре плана:

         

,	(41)

где             ,        .

Адекватность полученной модели проверяют с помощью F - критерия Фишера табл. 8

         

.	(42)

Дисперсию S_ад² адекватности вычисляют по формуле

         

,	(43)

где S_R —сумма квадратов отклонений эмпирических значений y_j функции отклика от ее значений , вычисленных по модели, во всех точках      плана;
       f — число степеней свободы,  f = N - k' - (n₀ - 1) ;
       k' — число коэффициентов аппроксимирующего полинома.

Если найденное значение критерия F_p меньше табличного при принятом уровне значимости и соответствующих числах степеней свободы, то гипотеза адекватности полученной модели принимается.
Рассмотренные Боксом и Бенкиным некомпозиционные планы для числа факторов от трех до семи имеют высокую степень ортогональности, а именно: только свободный член b₀ и коэффициенты b_ii при квадратичных членах коррелированы друг с другом.
При четырех и семи факторах указанные планы являются ротатабельными, а при другом числе факторов эти планы являются почти ротатабельными.